Redes Complexas e o modelo SIR

Redes Complexas

Um grafo (ou rede complexa) é um conjunto de nós conectados entre si. A teoria das redes complexas nascida de uma mistura de estatística, computação e matemática, tem como vantagem analisar não só os elementos sozinhos mas todo seu arredor a fim de encontrar padrões e obter informação sobre a dinâmica de um sistema.

Como a maioria das estruturas naturais apresentam elementos conectados entre si, os grafos se mostram modelos adequados para analisar a maioria dos recursos reais fenômenos mundiais. Nas últimas duas décadas, os pesquisadores tem mostrado que muitos sistemas reais não apresentam conexões aleatórias, o que pode ser utilizado para entender e caracterizar um modelo [1,2]. Análises em redes complexas tem sido aplicadas em, por exemplo, sociologia, física, nanotecnologia, neurociência, biologia, entre outros [3].

Para trazer uma definição formal, temos que um grafo G é um conjunto {V, E} em que V é composto por N vértices (também conhecidos como nós ou elementos) {v_i,..., v_n} e E é o conjunto a (v_i,...,, v_j) de arestas (ou conexões) entre seus elementos.

Arestas representam as relações entre dois elementos e seu valor também podem representar a força ou o peso de uma conexão se a (v_i..., v_j) > 0. Para um G com apenas a (v_i,..., v_j) = {0, 1 | ∀ i, j, 0 < i, j =< N } denominamos um gráfico não ponderado. Além disso, uma rede não é direcionada se a (v_i,..., v_j) = a (v_j, v_i) e dirigido, caso contrário.

Geralmente, as aplicações consistem em duas etapas principais: i) transformar a estrutura real em uma rede complexa e ii) analisar o modelo e extraia seus recursos ou entenda sua dinâmica. Um fenômeno natural que tem um direto conexão a uma rede complexa é a sociedade. As pessoas estão conectadas umas às outras devido a vários aspectos, como
como membros de uma família, grupos religiosos, colegas de trabalho, membros da mesma escola ou faculdade, entre outros relacionamentos. Portanto, as CNs têm sido amplamente empregadas na análise de redes sociais [4].

Redes Complexas e o modelo SIR

Os pesquisadores também foram aplicação de CNs na análise da propagação epidêmica. Um dos modelos epidêmicos mais conhecidos e amplamente utilizados em doenças infecciosas, os infectados-infectados-recuperados (SIR) é composto por três categorias de indivíduos [3, 5]:

• Susceptível: aqueles que não estão infectados, mas podem mudar para um estado de paciente se em contato com um doente pessoa combinada com uma probabilidade β de contágio
• Infectados: aqueles que têm a doença em seu corpo
• Recuperado: Geralmente, após algum período de tempo, uma pessoa se recuperada da doença e não pode ser infectado novamente devido ao processo de imunidade. A taxa de recuperação de pessoas infectadas está alinhada com uma probabilidade γ

Além disso, o modelo pode ser descrito como:

em que s, i e r representam a proporção de pessoas suscetíveis, infectadas removidas na população, respectivamente. Geralmente, o problema é resolvido com equações diferenciais, no entanto, os modelos de rede podem representar de maneira natural as doenças virais. Se uma rede estiver totalmente conectada, o que significa que (v_i, v_j) = {1, ∀ i, j | 0 < i, j <= N}, a equação acima se encaixa perfeitamente na estrutura.

No entanto, no mundo real, nem todos estão conectados e as pessoas só contraem a doença se estiverem em contato com um indivíduo infectado. É por isso que uma rede complexa se aproxima melhor da realidade e nos ajuda a entender o comportamento da doença.

Em 2000, Moore e Newman [6] enfatizam que o uso de redes de redes pequeno mundo, onde a distância entre dois elementos é geralmente pequena em comparação com o tamanho da população, mostram uma propagação mais rápida da doença viral do que os métodos de difusão clássicos. A aproximação de fenômenos sociais reais foi explicada pela primeira vez por Milgram em 1967 [7] , o sociólogo é o responsável pelo famoso conhecimento de que existem até seis pessoas separando dois indivíduos no mundo, o que reforça a importância de analisar a epidemia.

Já em [8], os autores usaram pequenas redes mundiais para a simulação de um modelo SIR, no entanto, consideraram que todo contato com uma pessoa infectada resultava em uma contaminação, o que não é realista. Portanto, outros pesquisadores aprimoraram o modelo ao longo dos anos, adicionando probabilidades de transmissibilidade e outras restrições em outros para aproximar a simulação do cenário real.

O modelo SIR funciona da seguinte maneira: cada nó representa uma pessoa (ou, no caso deste estudo, uma categoria como casa, local de trabalho, sistema de transporte, escola, espaços religiosos, entre outros), os elementos são conectados de acordo com algum critério pré estabelecido. Para cada etapa de tempo, os nós com modo suscetível podem contrair doenças de um nó infectado vinculado com uma probabilidade definida pelo desenvolvedor ou usuário.

A mesma ideia ocorre com a categoria recuperada. Após um certo período de tempo, um nó pode ser recuperado e pode ser removido do sistema (caso de morte) de acordo com uma certa probabilidade. Após a evolução do modelo SIR aplicado à rede, é possível calcular a quantidade de elementos em cada categoria SIR (suscetível, infectado e recuperado) para cada unidade de tempo avaliada e depois compara-las com informações do sistema de saúde, como capacidade hospitalar. Além disso, a probabilidade de infecção e recuperação pode ser ajustada ao longo do tempo, considerando distância social, higiene e condições de saúde.

O modelo proposto estende o modelo SIR para um modelo mais realista, incluindo camadas do sistema da sociedade e agregando
mais recursos do mundo real para a simulação. Portanto, uma rede multicamada é usada onde os elementos são
compostos por conjuntos de interações e elementos sociais são conectados entre a mesma categoria de elementos e através de
interações entre diferentes.

Aluns resultados divulgados no artigo podem ser encontrados aqui.